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Class 10 Math Chapter 2 Polynomials (बहुपद) MCQ Bihar Board के इस पोस्ट में सभी महत्वपूर्ण formulas, NCERT solutions, MCQ questions, test paper और PDF notes दिए गए हैं। यह पोस्ट exam preparation के लिए बेहद उपयोगी है।

1. बहुपद की परिभाषा (Definition of Polynomial)

यदि किसी चर (variable) के घातांक धनात्मक पूर्णांक हों और उनके साथ नियतांक (constants) जुड़े हों, तो उस व्यंजक को बहुपद कहते हैं।

उदाहरण:

3x² + 5x + 7
2x³ − 4x + 1

2. बहुपद के प्रकार (Types of Polynomials)

(A) पदों की संख्या के आधार पर

एकपद (Monomial) → 5x
द्विपद (Binomial) → x+3
त्रिपद (Trinomial) → x²+2x+1

(B) घात के आधार पर

शून्य बहुपद → 0
रैखिक बहुपद → ax+b
द्विघात बहुपद → ax²+bx+c
घन बहुपद → ax³+bx²+cx+d

3. बहुपद की घात (Degree)

चर की उच्चतम घात = Degree

उदाहरण:

5x⁴ + 2x² + 7 → Degree = 4

4. शून्यक (Zeros of Polynomial)

जिस मान पर बहुपद का मान 0 हो जाए, उसे शून्यक कहते हैं।

यदि p(x)=0, तो x बहुपद का शून्यक है।

5. ग्राफ और शून्यक

रैखिक बहुपद → 1 शून्यक
द्विघात बहुपद → अधिकतम 2 शून्यक
घन बहुपद → अधिकतम 3 शून्यक

6. शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

यदि बहुपद p(x) को (x−a) से भाग दिया जाए, तो शेषफल = p(a)

7. गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)

यदि p(a)=0, तो (x−a) बहुपद का गुणनखंड होगा।

8. द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध

यदि शून्यक α और β हों:

α + β = −b/a

αβ = c/a

9. महत्वपूर्ण सूत्र (Important Results)

(x+y)² = x² + 2xy + y²
(x−y)² = x² − 2xy + y²
x² − y² = (x+y)(x−y)
(x+y)³ = x³ + y³ + 3xy(x+y)
(x−y)³ = x³ − y³ − 3xy(x−y)

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.1

प्रश्न 1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृतियों में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(1). शून्यकों की संख्या 0 है

(2). शून्यकों की संख्या 1 है

(3). शून्यकों की संख्या 3 है

(4). शून्यकों की संख्या 2 है

(5). शून्यकों की संख्या 4 है

(6). शून्यकों की संख्या 3 है

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.2

निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए-
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4

Bihar Board Class 10 Math Chapter 1 Vastvik Sankhya – 50 MCQ + NCERT Solutions + Test Paper (2026)

Q1. Class 10 Math Chapter 2 Polynomials क्या है? Ans: Polynomials (बहुपद) गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है जिसमें variables और constants के साथ expressions को समझाया जाता है। यह बोर्ड परीक्षा के लिए बहुत जरूरी है।

Q2. Polynomials Chapter से exam में कितने प्रश्न आते हैं?Ans: Bihar Board Class 10 में Polynomials chapter से MCQ, short questions और long questions मिलाकर 10–15 अंक तक के प्रश्न पूछे जाते हैं।

Q3. Polynomials Chapter की तैयारी कैसे करें? Ans: सबसे पहले formulas याद करें, फिर NCERT questions solve करें और उसके बाद MCQ व test paper practice करें।

प्रश्न 2.एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं
(i) 1/4, -1
(ii) √2, 1/3
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) −1/4, 1/4
(vi) 4, 1

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Bihar Board Class 10 Maths बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²

प्रश्न 2. पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है-
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1

प्रश्न 3. 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक √5/3 और −√5/3 हैं।

प्रश्न 4. यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x)
(ii) घात q(x) = घात r(x)
(iii) घात r(x) = 0

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Exe 2.4 Polynomial (बहुपद)

प्रश्न 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए-
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; 1/2, 1, -2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1

प्रश्न 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।

प्रश्न 3. यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों तो a और b ज्ञात कीजिए।

Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-

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A. Objective Questions (MCQ)

बहुपद की घात क्या है? (x³+2x²+5)
रैखिक बहुपद का सामान्य रूप लिखिए।
शून्य बहुपद की घात क्या होती है?
यदि p(2)=0, तो कौन गुणनखंड होगा?
द्विघात बहुपद के अधिकतम शून्यक कितने होते हैं?

B. Advanced Practice (Competition Level)

ऐसा द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यक 3 और −5 हों।
यदि α+β=7 और αβ=10, तो बहुपद ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि यदि p(1)=p(−1)=0 तो (x²−1) उसका गुणनखंड होगा।
ऐसा बहुपद ज्ञात कीजिए जिसका एक शून्यक दूसरे का दुगुना हो।
यदि शून्यक α और β हों, तो नया बहुपद बनाइए जिसके शून्यक α² और β² हों।

TOP 50 MCQ — बहुपद (POLYNOMIALS)

बहुपद की घात क्या है? (3x⁵ + 2x³ + 1)Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
(A) 3 (B) 5 (C) 2 (D) 1Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
Ans: B
शून्य बहुपद की घात होती है —Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
(A) 0 (B) 1 (C) परिभाषित नहीं (D) −1
Ans: C
रैखिक बहुपद का सामान्य रूप — Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
(A) ax²+bx+c (B) ax+b (C) ax³ (D) a
Ans: B
द्विघात बहुपद की अधिकतम शून्यक संख्या —Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
Ans: B
यदि p(2)=0 तो (x−2) है —
(A) शेषफल (B) गुणनखंड (C) घात (D) पदClass 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
Ans: B
p(x)=x²−9 का एक शून्यक है —
(A) 3 (B) −3 (C) दोनों (D) कोई नहींClass 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
Ans: C
बहुपद x³−1 के गुणनखंड —
(A) (x−1) (B) (x²+x+1) (C) दोनों (D) कोई नहीं
Ans: C
p(x)=5 का प्रकार —
(A) रैखिक (B) स्थिर (C) द्विघात (D) घनClass 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
Ans: B
शेषफल प्रमेय में शेषफल =Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
(A) p(a) (B) a (C) x (D) 0
Ans: A
x=1 बहुपद का शून्यक है यदि —
(A) p(1)=1 (B) p(1)=0 (C) p(0)=1 (D) p(x)=1
Ans: B
x²+2x+1 के शून्यक — Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
(A) 1,1 (B) −1,−1 (C) 1,−1 (D) 2,1
Ans: B
बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को जहाँ काटे वही —
(A) घात (B) शून्यक (C) पद (D) गुणांक
Ans: B
घन बहुपद के अधिकतम शून्यक —
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
Ans: C
p(x)=x³−8 का एक गुणनखंड —
(A) x−2 (B) x+2 (C) x−4 (D) x−1
Ans: A
α+β किसके बराबर होता है? (ax²+bx+c)
(A) b/a (B) −b/a (C) c/a (D) a/b
Ans: B
αβ बराबर है —
(A) −c/a (B) c/a (C) b/a (D) a/c
Ans: B
p(x)=x²−5x+6 के शून्यक —
(A) 2,3 (B) 1,6 (C) 3,5 (D) 1,2
Ans: A
बहुपद x²−4 का गुणनखंडन —
(A) (x−2)(x+2) (B) (x−4)(x+1) (C) (x−1)² (D) नहीं होगा
Ans: A
स्थिर बहुपद की घात —
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
Ans: A
x³ बहुपद की घात —
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
Ans: C
यदि p(−1)=0 तो गुणनखंड — Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
(A) x−1 (B) x+1 (C) x (D) 1
Ans: B
x²+7 बहुपद के वास्तविक शून्यक —Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें–
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 3
Ans: C
बहुपद का उच्चतम घातांक कहलाता है —
(A) गुणांक (B) घात (C) पद (D) शून्यक Class 10 Math Chapter 1 के questions के लिए यहाँ क्लिक करें-
p(x)=x²−1 का शेषफल जब (x−1) से भाग दें —
(A) 1 (B) 0 (C) −1 (D) 2
Ans: B
(x+3) शून्यक है तो —
(A) p(3)=0 (B) p(−3)=0 (C) p(0)=3 (D) p(1)=0
Ans: B
x⁴−1 का गुणनखंड —
(A) (x²−1)(x²+1) (B) (x−1)² (C) x⁴+1 (D) नहीं होगा
Ans: A
बहुपद में चर की घात होती है —
(A) ऋणात्मक (B) भिन्न (C) धनात्मक पूर्णांक (D) कोई भी
Ans: C
p(x)=2x+5 का शून्यक
(A) −5/2 (B) 5/2 (C) −2 (D) 2
Ans: A
x²−6x+9 का प्रकार —
(A) रैखिक (B) पूर्ण वर्ग (C) घन (D) स्थिर
Ans: बी
(x−a) गुणनखंड होगा यदि —
(A) p(a)=0 (B) p(a)=1 (C) p(x)=a (D) p(0)=a
Ans: A
x³+x²+x+1 का गुणनखंड —
(A) x+1 (B) x−1 (C) x (D) x²+1
Ans: A
द्विघात बहुपद का ग्राफ —
(A) रेखा (B) परवलय (C) वृत्त (D) वक्र https://www.youtube.com/watch?v=S5qGR-8ml_w&t=68s
Ans: B
x²+1 के शून्यक —
(A) वास्तविक (B) काल्पनिक (C) पूर्णांक (D) प्राकृतिक
Ans: B
p(x)=x³ का शून्यक —
(A) 1 (B) 0 (C) −1 (D) 3
Ans: B
बहुपद का गुणांक होता है —
(A) चर (B) संख्या (C) घात (D) शून्यक
Ans: B
x²−5x का सामान्य गुणनखंड —
(A) x (B) 5 (C) x−5 (D) 1
Ans: A
(x+y)² का विस्तार —
(A) x²+y² (B) x²+2xy+y² (C) x²−2xy+y² (D) xy
Ans: B
x²−y² बराबर —
(A) (x+y)² (B) (x−y)² (C) (x+y)(x−y) (D) xy
Ans: C
बहुपद के शून्यक ग्राफ को कहाँ काटते हैं —
(A) y-अक्ष (B) x-अक्ष (C) मूलबिंदु (D) कहीं नहीं
Ans: B
यदि α और β शून्यक हों तो बहुपद —
(A) x²−(α+β)x+αβ (B) x²+αβ (C) x+α+β (D) αx²
Ans: A
x³−27 का गुणनखंड —
(A) x−3 (B) x+3 (C) x−9 (D) x−1
Ans: A
(x−2)² का विस्तार —
(A) x²−4x+4 (B) x²+4x+4 (C) x²−2x+4 (D) x²−4
Ans: A
p(0) कहलाता है —
(A) स्थिर पद (B) घात (C) गुणांक (D) शून्यक
Ans: A
द्विघात बहुपद में पदों की संख्या —
(A) 1 (B) 2 (C) अधिकतम 3 (D) 4
Ans: C
x³−x का गुणनखंड —
(A) x(x−1)(x+1) (B) x²−1 (C) x³+1 (D) नहीं होगा
Ans: A
(x−1) शून्यक है तो बहुपद —
(A) x−1 से विभाज्य (B) x+1 से विभाज्य (C) 1 से विभाज्य (D) नहीं
Ans: A
शेषफल प्रमेय लागू होता है —
(A) बहुपद पर (B) भिन्न पर (C) पूर्णांक पर (D) प्राकृतिक पर
Ans: A
बहुपद x²+bx+c के शून्यकों का योग —
(A) −b (B) b (C) c (D) 1
Ans: A
x³+1 का गुणनखंड —
(A) (x+1)(x²−x+1) (B) x−1 (C) x²+1 (D) x+2
Ans: A
बहुपद के शून्यकों की संख्या अधिकतम बराबर होती है —
(A) पदों की संख्या (B) घात (C) गुणांक (D) चर
Ans: B